由 $x^n\approx x$ 定义的 Burnside ai-半环簇

设 ${\bf Sr}(n, 1)$ 表示由恒等式 $x^n\approx x$ 定义的 ai-半环簇，其中 $n>1$。我们刻画了 ${\bf Sr}(n, 1)$ 的一个半单子簇中所有次直不可约成员。基于该结果，我们证明 ${\bf Sr}(n, 1)$ 是遗传有限基底的（相应地，遗传有限生成的）当且仅当 $n<4$，并且 ${\bf Sr}(n, 1)$ 的子簇格是可数的当且仅当 $n<4$。此外，我们证明 ${\bf Sr}(n, 1)$ 中所有局部有限成员的类构成一个簇，从而我们肯定地回答了 ${\bf Sr}(n, 1)$ 的限制 Burnside 问题。另外，我们给出了 Gajdoš 和 Kuřil（Semigroup Forum 80: 92--104, 2010）所得主要结果的一个简化证明。