完全图上的双层床猜想

双层床猜想最早由 Kasteleyn 提出。如果 $G=(V,E)$ 是一个有限图，$H$ 是 $V$ 的某个子集，那么对 $(G,H)$ 的双层床是图 $G\times\{1,2\}$ 加上 $|H|$ 条额外的边，为 $H$ 中的每个 $v$ 连接顶点 $(v,1)$ 和 $(v,2)$。该猜想断言，在独立键渗流模型中，对于任意的 $v,w\in V$，$(v,1)$ 与 $(w,1)$ 连接的可能性大于与 $(w,2)$ 连接的可能性。这很直观，因为在某种意义上 $(v,1)$ 比 $(w,2)$ 更靠近 $(w,1)$。然而，该猜想经受住了多次证明的尝试。本文解决了在渗流参数为常数且 $G$ 为完全图情况下的该猜想。