无桥三次图中的不相交奇圈可由单个完美匹配平息

设 $G$ 为一个无桥三次图。Berge--Fulkerson 猜想（1970 年代）指出，$G$ 存在六个完美匹配组成的列表，使得 $G$ 的每条边恰属于其中两个完美匹配。若此猜想被肯定回答，则另外两个近期猜想也将成立：Fan--Raspaud 猜想（1994），其称 $G$ 存在三个完美匹配使得 $G$ 的每条边至多属于其中两个；以及 Mazzuoccolo（2013）的一个猜想，其称 $G$ 存在两个完美匹配，删去它们后得到 $G$ 的一个二分子图。可以证明，给定 $G$ 的任意完美匹配，并不总是能将其分别扩展为满足 Fan--Raspaud 与 Berge--Fulkerson 猜想陈述的三个或六个完美匹配列表。在本文中，我们证明给定任意 $1^+$-因子 $F$（即 $G$ 的一个生成子图，其顶点度数至少为 1）以及 $G$ 的任意边 $e$，总存在 $G$ 的一个包含 $e$ 的完美匹配 $M$，使得 $G\setminus (F\cup M)$ 为二部图。我们的结果蕴含 Mazzuoccolo 猜想，且不仅如此。它还蕴含：给定 $G$ 中任一不相交奇圈集合，存在 $G$ 的一个完美匹配，其包含该集合中每个圈至少一条边。