完全二部图及相关图类的上下铺猜想

设 $G = (V,E)$ 为一简单有限图。相应的上下铺图 $G^\pm$ 由 $G$ 的两个副本 $G^+ = (V^+,E^+), G^- = (V^-,E^-)$ 以及连接任意两个顶点 $v_+ \in V_+, v_- \in V_-$ 的附加边组成，其中 $v_+, v_-$ 是顶点 $v \in V$ 的副本。上下铺猜想指出，对于 $G^\pm$ 上的独立边渗流，对所有 $v,w \in V$，$v_-, w_-$ 连接的概率大于 $v_-, w_+$ 连接的概率。虽然这看似非常合理，但迄今为止严格证明的结果少得惊人。最近该猜想对完全图得到了证明。本文我们给出对完全二部图、完全图减去一个完全子图的边、以及对称完全 $k$-部图的证明。