床铺猜想在 $p\uparrow 1$ 极限下成立

设 $G=(V,E)$ 为一个可数图。G 的床铺图是积图 $G \times K_2$，其顶点集为 $V\times \{0,1\}$，带有从 G 继承的“水平”边，以及为每个 $w \in V$ 连接 $(w,0)$ 与 $(w,1)$ 的附加“垂直”边。Kasteleyn 的床铺猜想指出，对每个 $u,v \in V$ 与 $p\in [0,1]$，在床铺图上的 Bernoulli-$p$ 边渗流下，顶点 $(u,0)$ 与 $(v,0)$ 连通的概率至少不低于其与 $(v,1)$ 连通的概率。我们证明该猜想在 $p \uparrow 1$ 极限下成立，即对每个有限图 $G$，存在 $\varepsilon(G)>0$，使得床铺猜想对 $p \geqslant 1-\varepsilon(G)$ 成立。