Kim-Vu sandwich conjecture 的证明

2004 年，Kim 和 Vu 猜想称，当 $d=\omega(\log n)$ 时，随机 $d$ 规范图 $G_d(n)$ 可以高概率被嵌入在两个边概率渐近等于 $\frac{d}{n}$ 的随机二项图 $G(n,p)$ 之间。即应存在 $p_*=(1-o(1))\frac{d}{n}$，$p^*=(1+o(1))\frac{d}{n}$ 以及一个配对 $(G_*,G,G^*)$，使得 $G_*\sim G(n,p_*)$，$G\sim G_d(n)$，$G^*\sim G(n,p^*)$，且 $\mathbb{P}(G_*\subset G\subset G^*)=1-o(1)$。此类配对被称为 sandwich conjecture，因为它允许从更易于研究的二项随机图的性质推断随机规范图的性质。此猜想最近在 $d\gg\log^4n$ 时由 Gao、Isaev 和 McKay 证明为真。本文全面证明了 sandwich conjecture。我们通过分析 Gao、Isaev 和 McKay 之前工作中引入的自然配对程序来实现这一点，该程序此前仅在 $d\gg n/\sqrt{\log n}$ 时完成。