双正则随机图的夹心嵌入

设 $G(n,n,m)$ 为完全二部图 $K_{n,n}$ 的均匀随机 $m$ 边子图，其二部划分为 $(V_1, V_2)$，其中 $n_i = |V_i|$。给定实数 $p \in [0,1]$ 使得 $d_1 := pn_2$ 与 $d_2 := pn_1$ 为整数，令 $R(n,n,p)$ 为 $K_{n,n}$ 的随机子图，使得对每个 $i = 1, 2$，任意 $v \in V_i$ 的度均为 $d_i$。本文确定了在 $n_1,n_2,p$ 与 $m$ 上使得能以趋于 $1$ 的概率将 $G(n,n,m)$ 嵌入 $R(n,n,p)$ 及其逆嵌入的充分条件。特别地，在平衡情形 $n_1 = n_2$ 下，我们证明若 $p \gg \log n/n$ 且 $1 - p \gg \left(\log n/n \right)^{1/4}$，则对某个 $m \sim pn^2$，渐近几乎必然可将 $G(n,n,m)$ 嵌入 $R(n,n,p)$；而若 $p \gg \left(\log^{3} n/n\right)^{1/4}$ 且 $1-p \gg \log n/n$，则有相反嵌入。作为推广，我们确认了度数增长快于 $(n \log n)^{3/4}$ 时的 Kim--Vu 夹心猜想。