将随机正则图夹在二项随机图之间

Kim 与 Vu 提出如下猜想（\textit{Advances in Mathematics}，2004）：若 $d\gg \log n$，则随机 $d$-正则图 $\mathcal G(n,d)$ 以渐近几乎必然的方式可被“夹在” $\mathcal G(n,p_1)$ 与 $\mathcal G(n,p_2)$ 之间，其中 $p_1$ 与 $p_2$ 均为 $(1+o(1))d/n$。他们证明了该猜想在 $\log n\ll d\le n^{1/3-o(1)}$ 时成立，但夹逼存在缺陷：$\mathcal G(n,d)$ 完全包含 $\mathcal G(n,p_1)$，却未被完全包含于 $\mathcal G(n,p_2)$ 中。近来，嵌入 $\mathcal G(n,p_1) \subseteq \mathcal G(n,d)$ 被 Dudek、Frieze、Ruci\'nski 与 \v{S}ileikis 改进至 $d=o(n)$。本文中，我们证明了 Kim–Vu 夹逼猜想在两侧均完美包含的意义下对所有 $d\gg n/\sqrt{\log n}$ 成立。对于 $d=O(n/\sqrt{\log n})$，我们证明了夹逼猜想的一个较弱版本，其中 $p_2$ 近似等于 $(d/n)\log n$，且没有任何缺陷。除夹逼正则图外，我们的结果还覆盖度渐近相等的图。证明依赖于对伪随机图的随机因子包含给定边的概率的估计，这具有独立意义。作为应用，我们获得了关于给定近正则度序列随机图性质的新结果，包括哈密顿性与子图包含中的普适性。我们还确定了这些随机图中的若干图参数，如色数、小 subgraph 计数、直径与独立数。我们也能够刻画这些随机图上边渗流中的许多相变，例如巨连通分支出现的阈值。