奇孤立图和偶孤立图的 sandwich 问题

对于图的性质 $\mathcal{P}$，由 Golumbic 和 Shamir (1993) 提出的 $\mathcal{P}$-Sandwich-Problem 定义如下：给定一对在相同顶点集 $V$ 上的图 $(G_1, G_2)$，是否存在图 $G$ 使得 $V(G)=V$，$E(G_{1})\subseteq E(G) \subseteq E(G_{2})$，且 $G$ 满足性质 $\mathcal{P}$？图中一个 {\em hole} 指的是长度至少为 4 的环的诱导子图。奇孤立图（分别为偶孤立图）是长度为奇数（分别为偶数）的孤立图。在本文中，我们证明：若 $\mathcal{P}$ 为奇孤立图或偶孤立图的性质，则 $\mathcal{P}$-Sandwich-Problem 为 NP-hard。