在多项式时间内寻找最短偶洞

图中的一个偶( respectively, 奇)洞是指长度至少为四的偶( respectively, 奇)诱导圈。Bienstock [DM 1991 and 1992] 证明了检测包含给定顶点的偶( respectively, 奇)洞是 NP-完全的。Conforti、Cornuéjols、Kapoor 和 Vušković [FOCS 1997] 给出了首个已知的用于判定图是否包含偶洞的多项式时间算法。Chudnovsky、Kawarabayashi 和 Seymour [JGT 2005] 估计 Conforti 等人的算法在 $n$ 个顶点的图上运行时间为 $O(n^{40})$,并将所需时间降至 $O(n^{31})$。随后,da Silva 和 Vušković [JCTB 2013]、Chang 和 Lu [JCTB 2017] 以及 Lai、Lu 和 Thorup [STOC 2020] 分别将时间改进为 $O(n^{19})$、$O(n^{11})$ 和 $O(n^9)$。判定图是否包含奇洞的可处理性悬而未决数十年,直至 Chudnovsky、Scott、Seymour 和 Spirkl [JACM 2020] 的算法以 $O(n^9)$ 时间运行,Lai 等人也将其降至 $O(n^8)$。通过扩展 Chudnovsky 等人检测奇洞的技术,Chudnovsky、Scott 和 Seymour [Combinatorica 2020 to appear]( respectively, [arXiv 2020])确保了寻找长( respectively, 最短)奇洞的可处理性。他们还确保了寻找最长奇洞的 NP-困难性,其归约也适用于寻找最长偶洞。最近,Cook 和 Seymour 确保了寻找长偶洞的可处理性。一个引人入胜的缺失环节是寻找最短偶洞的可处理性,这一问题由 Chudnovsky 等人 [JGT 2005] 和 Johnson [TALG 2005] 等至少开放了 15 年。我们通过给出首个已知的多项式时间算法解决了这一长期开放问题,该算法在包含偶洞的 $n$ 个顶点的图上以 $O(n^{31})$ 时间寻找最短偶洞。