大 q-Jacobi 函数变换

我们详细描述将一个二阶 $q$-差分算子作为在两个不同 Hilbert 空间上的无界自伴算子的恒等分解。该 $q$-差分算子以及 Hilbert 空间的两种选择自然来自于量子群 $SU_q(1,1)$ 和 $SU_q(2)$ 上的调和分析。与 $SU_q(1,1)$ 相关的谱分析导出了大 $q$-Jacobi 函数变换及其 Plancherel 测度与反演公式。对偶正交关系给出了连续对偶 $q^{-1}$-Hahn 多项式在 $q^{-1}>1$ 时的一族非极端的单参数正交测度,以及将这些多项式补充为相关 Hilbert 空间正交基的显式函数集。与 $SU_q(2)$ 相关的谱分析导出了大 $q$-Jacobi 多项式的正交关系与二次范数求值的泛函分析证明。