在$L^2(\rz_>,\ud x)$和具有一般自伴实现的紧致量子图上的Berry-Keating算符

讨论了在希尔伯特空间$L^2(\rz_>,\ud x)$和紧致量子图上控制薛定谔动力学的Berry-Keating算符$H_{\mathrm{BK}}:= -\ui\hbar(x\frac{\ud\phantom{x}}{\ud x}+{1/2})$ [M. V. Berry and J. P. Keating, SIAM Rev. 41 (1999) 236]。证明了定义在$L^2(\rz_>,\ud x)$上的$H_{\mathrm{BK}}$谱是纯连续的，因此这种$H_{\mathrm{BK}}$的量子化无法产生假设的Hilbert-Polya算符（其本征值为黎曼zeta函数的非平凡零点）。给出了作用在紧致量子图上的$H_{\mathrm{BK}}$所有自伴延拓的完整分类，以及相应的久期方程（以行列式形式给出，其零点决定了$H_{\mathrm{BK}}$的离散谱）。此外，推导了精确的迹公式和本征值计数函数的Weyl渐近式。进一步，我们引入了“平方”Berry-Keating算符$H_{\mathrm{BK}}^2:= -x^2\frac{\ud^2\phantom{x}}{\ud x^2}-2x\frac{\ud\phantom{x}}{\ud x}-{1/4}$，它是金融期权定价理论中Black-Scholes算符的一个特例。同样，推导了$H_{\mathrm{BK}}^2$在紧致量子图上的所有自伴延拓、相应的久期方程、迹公式和Weyl渐近式。虽然$H_{\mathrm{BK}}$和$H_{\mathrm{BK}}^2$在任何紧致量子图上的谱都是离散的，但它们的Weyl渐近式表明，$H_{\mathrm{BK}}$和$H_{\mathrm{BK}}^2$都无法产生作为本征值的非平凡黎曼零点。详细给出了一些简单例子。