黎曼零点的量子力学模型

1999 年，Berry 和 Keating 表明，对一维经典哈密顿量 H = xp 进行正则化可在半经典近似下给出黎曼零点的平滑计数函数。本文首先通过考虑由位置和动量中的两个边界函数所界定的相空间来推广这一结果，这些边界函数在能级计数中引入了一个涨落项。接下来，我们对 xp 哈密顿量进行量子化，并添加一个依赖于与相空间中经典边界相关联的两个波函数的相互作用项。该通用模型被精确求解，得到了一个包含离散束缚态的连续谱。我们找到了与 Berry-Keating 正则化相关的边界波函数，使得平均黎曼零点成为共振态。利用模型在位置和动量交换下的对称性（这与 zeta 函数的对偶对称性相关），实现了黎曼零点的光谱实现。产生黎曼零点的边界波函数是利用 zeta 函数的 Riemann-Siegel 公式找到的。研究表明，其他 Dirichlet L-函数也能在该模型中找到自然的实现。