$\mathrm{RCD}^*(K,N)$ 空间与多粒子 Schr"odinger 半群的几何

设 $(X,\mathfrak{d},\mathfrak{m})$ 为某个 $K\in\mathbf{R}$、$N\in [1,\infty)$ 的 $\mathrm{RCD}^*(K,N)$ 空间,令 $H$ 为由底层 Cheeger 形式诱导的自伴拉普拉斯算子。给定 $\alpha\in [0,1]$,我们引入 $(X,\mathfrak{d},\mathfrak{m})$ 上势的 $\alpha$-Kato 类;给定该类中的势 $V:X\to \mathbf{R}$,以 $H_V$ 为 Schr"odinger 算子 $H+V$ 在 $L^2(X,\mathfrak{m})$ 中的自然自伴实现,我们运用布朗耦合方法与微扰理论证明:对所有 $t>0$,存在显式给出的常数 $A(V,K,\alpha,t)<\infty$,使得对所有 $\Psi\in L^{\infty}(X,\mathfrak{m})$、$x,y\in X$ 有 \begin{align*} \big|e^{-tH_V}\Psi(x)-e^{-tH_V}\Psi(y)\big|\leq A(V,K,\alpha,t) \|\Psi\|_{L^{\infty}}\mathfrak{d}(x,y)^{\alpha}. \end{align*} 特别地,$H_V$ 的所有 $L^{\infty}$-本征函数均为整体 $\alpha$-H"older 连续的。该结果适用于多粒子 Schr"odinger 半群,并且由于 H"older 常数的显式性,为这类算子的几何提供了一些启示。