椭圆问题全 DG 离散化的 FETI-DP 预条件子分析

本文考虑了基于间断 Galerkin (DG) 方法对具有不连续系数的椭圆二维问题进行离散化。该问题定义在一个多边形区域$\Omega$上，该区域是$N$个直径为$O(H_i)$的不相交多边形子域$\Omega_i$的并集。假设系数的不连续性（可能非常大）仅发生在子域界面$\partial \Omega_i$上。在每个$\Omega_i$中构建了参数为$h_i$的共形拟均匀三角剖分。我们假设$\Omega$中生成的三角剖分也是共形的，即网格在子域界面上是匹配的。在精细三角剖分上，问题通过 DG 方法进行离散化。为求解所得的离散系统，提出并分析了一种 FETI-DP 类型的方法。已证明预条件线性系统的条件数估计为$C(1 + \max_i \log H_i/h_i)^2$，其中常数$C$独立于$h_i$、$H_i$和系数跳跃。该方法非常适合并行计算，并可扩展至三维问题。此结果是先前结果 [SIAM J. Numer. Anal., 51 (2013), pp.~400--422] 的扩展，后者在子域内部考虑了共形有限元方法，而仅在子域界面上使用了间断 Galerkin 方法；本文将其扩展至全精细网格 DG 离散化的情形。文中展示了数值结果以验证理论。