(2,3,5) 分布的几乎爱因斯坦算子

对于定向 $(2, 3, 5)$ 分布 $(M, {\mathbf D})$ 的几何——它对应于特定抛物子群 $P < \mathrm{G}_2$ 的 $(\mathrm{G}_2, P)$ 型正则、正规抛物几何——我们发展了相应的牵引量微积分，并用它来分析与 $\mathrm{G}_2$ 的 $7$ 维不可约表示相关联的第一个 BGG 算子 $\Theta_0$。我们给出了相应牵引量丛上正规联络的显式公式，并由此导出该算子的显式表达式。我们还证明了该算子的解自动是正规的，从而给出了 $\ker \Theta_0$ 的几何解释：对于任意 $(M, {\mathbf D})$，该核恰好由 ${\mathbf D}$ 所确定的 Nurowski 共形结构的几乎爱因斯坦标度组成。我们将 $\Theta_0$ 的公式应用于 (1) 高效恢复某些已知解，(2) 构造一个具有根类型 $[3, 1]$ 且拥有非零解的分布，以及 (3) 高效证明某个 $(2, 3, 5)$ 共形结构的共形和乐等于 $\mathrm{G}_2$。