二的幂的三进制数位

$2^n$ 的三进制数位是一个由 0、1、2 组成的有限序列。一个自然的问题是：当指数 $n$ 趋近于无穷大时，是否存在某个长度为 $k$ 的字符串在该序列中的出现频率趋于相同的值（即在极限下均匀分布）。目前尚不知道对此问题的答案。即使是 Erd\"os 提出的更弱的猜想仍然悬置未明。然而我们提出了计算结果（至 $n = 10^6$），支持在极限下的均匀分布。在此背景下，我们讨论了本杰明定律和巴克定理的一个特殊情况的含义。随后我们考察了 $\log_3(2)$ 的三进制数位的无限序列中 0、1、2 串的分布问题。如果在极限下存在均匀分布，则称 $\log_3(2)$ 为「以 3 为底正规数」。在缺乏确定性结果的情况下，我们再次提供了来自 $\log_3(2)$ 前 $10^6$ 位三进制数位的计算证据，强有力地支持 $\log_3(2)$ 为以 3 为底正规数的猜想。