二维字符串中重复次数的下界

二维字符串即一个简单的二维数组。我们继续研究此类基于二元字母表的字符串中重复的组合性质，即不同 tandem、不同 quartic 和 run 的数量。首先，我们构造了一个 $n\times n$ 二维字符串的无穷族，其具有 $\Omega(n^{3})$ 个不同 tandem。其次，我们构造了一个 $n\times n$ 二维字符串的无穷族，其具有 $\Omega(n^{2}\log n)$ 个不同 quartic。第三，我们构造了一个 $n\times n$ 二维字符串的无穷族，其具有 $\Omega(n^{2}\log n)$ 个 run。这解决了 Charalampopoulos、Radoszewski、Rytter、Wale\'n 和 Zuba [ESA 2020] 提出的一个开放问题，他们曾问 $n\times n$ 二维字符串中不同 quartic 和 run 的数量是否为 $\mathcal{O}(n^{2})$。