二维字符串中的重复次数

字符串中周期性和重复的概念，以及由此产生的游程和平方的概念，自然地扩展到二维字符串。我们考虑二维字符串中的两种重复：二维游程和四重（四重是标准字符串中平方的二维版本）。Amir等人引入了二维游程，表明在一个$n \times n$的二维字符串中有$O(n^3)$个二维游程，并给出了一个简单的构造，其数量下界为$\Omega(n^2)$（TCS 2020）。我们通过证明$n \times n$二维字符串中二维游程的数量为$O(n^2 \log^2 n)$，朝着缩小这些界限之间的差距迈出了重要一步。特别地，我们的界限意味着Amir等人计算二维游程的算法运行时间$O(n^2\log n + \textsf{output})$也是$O(n^2 \log^2 n)$。我们期望这一结果能够在二维模式匹配领域中对二维游程进行算法利用。四重是由Apostolico和Brimkov（TCS 2000）引入的由$2 \times 2$个相同块（二维字符串）组成的二维字符串，他们所说的四重仅指原始根四重，即由原始块构建的。这里我们对四重的概念更一般，类似于一维字符串中的平方。Apostolico和Brimkov表明，在一个$n \times n$的二维字符串中，原始根四重的出现次数为$O(n^2 \log^2 n)$，并且这个界限是可以达到的。因此，不同的原始根四重的数量为$O(n^2 \log^2 n)$。在这里，我们证明不同的一般四重的数量也是$O(n^2 \log^2 n)$。这将由Fraenkel和Simpson（J. Comb. Theory A 1998）发起的一维字符串中不同平方数量的丰富组合研究扩展到二维。最后，我们展示了二维游程的一些算法应用。（摘要因arXiv要求而缩短。）