关于涉及 2 的幂的三进制数字的两个猜想

Erd\H{o}s 猜想 1、4 和 256 是唯一的三进制表示仅由 0 和 1 组成的 2 的幂。Sloane 猜想，除 $\{2^0,2^1,2^2,2^3,2^4,2^{15}\}$ 外，每个其他的 2 的幂在其三进制表示中至少有一个 0。本文给出了强烈支持这些猜想的数值结果。特别地，我们验证了所有 $n \leq 2 \cdot 3^{45} \approx 5.9 \times 10^{21}$ 的 $2^n$ 满足两个猜想。我们的方法利用了具有指定尾部三进制数字模式的数的简单递归构造。