射影空间循环覆盖的万有族

本文研究在参数化特定伽罗瓦覆盖的粗模空间的 Zariski 开集上万有族的存在性。具体而言，令（1）$\mathscr{H}_{n,r,d}$（相应 $M_{n,r,d}$）为参数化射影空间 $\mathbb{P}^n$ 上沿次数为 $rd \geq 4$ 的除子分支的平滑单循环 $r$ 次覆盖的栈（相应粗模），（2）$\mathscr{H}_{1,3,d_1,d_2}$（相应 $M_{1,3,d_1,d_2}$）为 $\mathbb{P}^1$ 上满足 $2d_1-d_2 \geq 4$ 与 $2d_2-d_1 \geq 4$ 的平滑循环三次覆盖的栈（相应粗模）。在前一情形，我们证明此类族存在当且仅当 $\textrm{gcd}(rd, n+1) \mid d$；在后一情形，我们证明它恒存在。我们进一步表明，即便此类族存在，它也常不能延拓至无额外自同构对象的开轨迹。若粗模空间有理，则其粗模的 Zariski 开集上万有族的存在性可据栈的有理性解释。结合关于 $\mathbb{P}^1$ 上点与平面曲线粗模有理性已知结果，我们确定了 $\mathscr{H}_{1,r,d}$（相应 $\mathscr{H}_{2,r,d}$）在 $rd \geq 4$（相应 $rd\geq 49$）时的有理性。另一方面 $\mathscr{H}_{1,3,d_{1},d_{2}}$ 单有理，我们证明其粗模 $M_{1,3,d_1,d_2}$ 单有理且由齐次簇纤维化于有理基上，当 $\textrm{char}(\mathbb{k}) = 0$ 时这些齐次簇有理。本研究受 Gorchinskiy 与 Viviani 关于超椭圆曲线模工作的启发。