全实域上$\operatorname{GSp}_4$的Tate类与内窥镜

内窥镜理论预测了在某些Shimura簇乘积上存在大量Tate类，自然要问在哪些情形下可以构造产生这些Tate类的代数圈。本文研究由Yoshida提升产生的Tate类：这些是群$\operatorname{Res}_{F/\mathbb Q} (\operatorname{GL}_2 \times \operatorname{GSp}_4)$（其中$F$为全实域）的Shimura簇上中间次数的Tate圈。一个特例是反映模曲线与Siegel模三维簇中间上同调中出现二维Galois表示的Tate类族。我们证明一个自然的代数圈恰好生成与$\operatorname{GSp}_{4,F}$上内窥镜$L$-包中的\emph{一般}成员相关联的Tate类。在非一般情形下，我们给出另一种构造，表明所预测的Tate类源于Hodge圈。