独立随机变量之和的概率密度尾部

我们得到了有限个数 $N$ 的独立随机项之和的概率密度 $p_{_N}(x)$ 的精确表达式。我们证明 $p_{_N}(x)$ 的最尾部具有高斯形式当且仅当所有随机项均按高斯律分布。在所有其他情形中 $p_{_N}(x)$ 的尾部不同于高斯形式。若随机项的方差发散，则非高斯尾部与 $p_{_N}(x)$ 的 Levy 分布相关。然而，即便方差有限，尾部也不是高斯的。在后一情形中 $p_{_N}(x)$ 有两种不同渐近。在 $x$ 较小和适中时分布为高斯。在 $x$ 较大时出现了非高斯尾部。两种渐近间的交叉发生在与 $N$ 成比例的 $x$ 处。因此非高斯尾部仅存在于有限 $N$。在极限 $N\to\infty$ 时尾部的源头被移到无穷远，即尾部消失。依随机项分布的具体类型，非高斯尾部可能比高斯衰减得更慢或更快。文中详细讨论了若干具体例子。