微分几何中的对称性：一种处理延拓的计算方法

本工作的目的是开发一种系统的方法，以封闭由共形 Killing 张量 (CKT) 产生的超定方程组。本研究针对 1-张量和 2-张量执行了这一操作。这使得能够为任意阶数的 CKT 开发一种新的通用方法。该方法也可应用于其他类型的 Killing 方程，以及受其他条件约束的超定方程组。本研究的主要方法论工具是通过广义梯度对 CKT 协变导数所在的截面丛进行分解。这种分解生成了一棵树，其中每一行代表更高阶的导数。在使用共形 Killing 方程后，只有少数分量（分支）保留下来，这意味着大多数分量可以用低阶项表示。这导致了有限数量的独立 jet。因此，任何高阶协变导数都可以用这些 jet 来表示。本工作的发现在方法论上具有重要意义，更具体地说，在于发现对称性的潜力。首先，本工作揭示了一种可用于封闭由共形 Killing 张量 (CKT) 产生的超定方程组的新方法。其次，通过应用此方法，本研究发现了 Laplace 算子的一阶和二阶高阶对称算子，这些算子也可通过其他途径获知。研究结果还揭示了 Yamabe 情形下的一阶对称算子。此外，本研究引出了关于 Yamabe 算子二阶对称性的猜想。