共形 Killing 张量及其 Killing 尺度

我们探讨了如何刻画一个秩二共形 Killing 张量是共形类中某个度量的 Killing 张量的无迹部分这一问题。我们将这样的度量称为 Killing 尺度。我们的方法是通过使用共形不变的 tractor 演算进行微分延拓。首先，我们展示了共形 Killing 方程可以部分延拓为某个 tractor 丛截面的简化方程。然后，我们利用这个部分延拓，根据尺度 tractor 和这个部分延拓提供了这样一个不变刻画。这不变地捕捉了相关的 Bertrand-Darboux 方程。我们证明了 Einstein Killing 尺度在该理论中具有特殊地位。在共形平坦流形上，我们给出了共形 Killing 方程到 tractor 丛上共形不变联络的完全延拓。利用这一点，我们通过对应于此类度量的尺度 tractor 的代数方程，给出了（非标量平坦）Einstein Killing 尺度的刻画。这也为与给定 Einstein Killing 尺度相容的共形 Killing 张量的线性子空间提供了代数描述。为了完整并引入主要思想，我们还研究了共形 Killing 向量的类似问题。