带带状重尾噪声的对称矩阵：局部律与特征向量离域化

本文考虑确定性对称矩阵，其在距对角线固定距离 $K$ 内的元素上施加重尾噪声。最重要的例子是定义于 $0,1,\cdots,N$ 的离散一维随机Schr"odinger算子，其中对角上施加的势具有重尾分布，特别地可能无有限方差。我们假设噪声形式为 $N^{-\frac{1}{\alpha}}\xi$，其中 $\xi$ 为独立同分布随机势。我们在对 $\xi$ 的不同假设下研究局部谱统计：当其具有所有矩但矩随 $N$ 增大而发散；当其具有某 $\delta>0$ 的有限 $\alpha+\delta$ 阶矩；以及当其服从 $\alpha$-稳定律。我们在前两种情况证明，Green函数各元素的局部律以高概率在近乎最优尺度成立。作为副产物，我们导出Wegner估计、特征值刚性与无穷范数下的特征向量离域化。对于施加于离散一维Laplacian的 $\alpha$-稳定势，我们证明 (i) Green函数元素以趋于1的概率有界，蕴含特征向量在无穷范数下离域；(ii) 以正概率Green函数某些元素不收敛于确定性矩阵者；(iii) Green函数迹以趋于1的概率收敛于arcsine律的Stieltjes变换。这些发现不同于近期揭示的Levy矩阵性质。我们将结果扩展至噪声前的其他标度并导出相应中间尺度上的局部律，进一步扩展至受有限带状重尾噪声扰动的Wigner矩阵。