反应网络中不稳定性与分支的符号搜寻

大型参数系统中分支的定域仍是一项挑战，往往需要将严格准则与非正式直觉相结合。受此启发，我们符号化地处理具有一般动力学的反应网络的雅可比矩阵。更具体地，我们将反应速率的任意非零偏导数视为自由的正符号。主要工具是 Child-Selections：将物种 $m$ 关联到其作为反应物参与的反应 $j$ 的单射映射。首先，我们采用 Cauchy-Binet 分析，并在结构上用 Child-Selections 表达雅可比矩阵特征多项式的任意系数。特别地，我们完全刻画了任意系数的符号变化。其次，我们证明雅可比矩阵的（不）稳定性继承自由 Child-Selections 识别的更简单子矩阵的（不）稳定性。第三，我们给出雅可比矩阵纯虚特征值的充分条件，暗示 Hopf 分支和振荡行为。所有条件均以 Child-Selections 识别的整数化学计量子矩阵的符号表示，且不需要任何 Hurwitz 型计算。最后，我们聚焦于具有 Michaelis-Menten 动力学的系统，并证明通过在固定平衡处适当选择动力学常数，可以实现雅可比矩阵的任何符号实现。