补性是量子图推理所必需的

ZX 演算是用于量子力学和量子信息处理的一种强大图示语言。我们证明它的 $\pi/4$-片段是不完备的，换句话说，ZX 演算对于所谓的“Clifford+T 量子力学”不完备。该片段的完备性曾是 Abramsky 和 Coecke 发起的范畴量子力学（categorical quantum mechanics） programme 中的主要开放问题之一。已知 ZX 演算对于量子力学不完备。另一方面，其 $\pi/2$-片段已知是完备的，即 ZX 演算对于所谓的“稳定子量子力学”完备。判定其 $\pi/4$-片段是否完备是 ZX 演算发展中的一个关键步骤，因为该片段对于量子力学是近似通用的，而 $\pi/2$-片段则不是。为确立我们的不完备结果，我们考虑量子态的一个相当简单的性质称为补性（supplementarity）。我们证明补性可以在 ZX 演算中导出当且仅当该方程中涉及的角度是 $\pi/2$ 的倍数。特别地，对于 $\pi/4$ 无法导出补性意味着 ZX 演算对于 Clifford+T 量子力学不完备。作为推论，我们提议将补性添加到 ZX 演算的规则集中。我们还展示如果一个 ZX 图涉及反相孪生（antiphase twins），当 ZX 演算以增强补性规则时，它们可以合并。合并反相孪生使图示推理更容易，并为补性规则提供纯图形意义。