通过对称化技术对边界含 Dirichlet 区域的传输密度的可和性估计

在本文中，我们考虑有界区域 $\Omega$ 中的质量传输问题，其中内部的正质量 f+ 被输送到边界 $\partial\Omega$，这出现在某些形状优化问题中；我们证明了相关传输密度 $\sigma$ 的可和性估计，该密度是从扩散测度到边界上的测度 f-- = P \# f+（P 为到边界的投影）的传输密度，因此是奇异的。通过对称化技巧，只要 $\Omega$ 是凸的或满足一致外球条件，我们便证明了 Lp 估计（若 f+ $\in$ Lp，则 $\sigma$ $\in$ Lp）。最后，通过反例我们证明，若 f+ $\in$ L$\infty$(\Omega) 且 f-- 关于 $\partial\Omega$ 上的表面测度具有有界密度，则 f+ 与 f-- 之间的传输密度 $\sigma$ 不一定在 L$\infty$(\Omega) 中，这意味着 f-- = P \# f+ 这一事实是关键。