约束扭转刚度混合 Serrin 型问题中的定量对称性

我们考虑一个包含在半球 B_+ 中且其边界的一部分 \bar{T} 与 ∂B_+ 的弯曲部分重合的域 Ω 中的混合边值问题。该问题与某种约束扭转刚度有关。在此情形下，相关解 u 在 T 上满足 Steklov 条件，在 Σ = ∂Ω \setminus \bar{T} ⊂ B_+ 上满足齐次 Dirichlet 条件。我们给出一个积分恒等式，将 Ω 中解二阶导数的（对称函数）与其在 Σ 上的法向导数 u_ν 联系起来。该恒等式的第一个重要推论是在 Σ 上 u_ν 的一个相当弱的超定积分条件下的刚性结果：事实上，结果表明 Σ 必须是与 T 正交相交的球冠。这一结果回归了 J. Guo 和 C. Xia 在更强的点态条件（即 u_ν 在 Σ 上取值为常数）下所获得的结果。第二个重要推论是一组稳定性估计，其定量度量了当 u_ν 在 L^1(Σ) 范数下偏离常数时，Σ 在一致意义下距离成为球冠的程度。