Heisenberg 群上的亚黏性 Navier-Stokes 系统：弱解、良好存在性与光滑性效应

本文致力于亚黏性 Euler 方程和亚黏性 Navier-Stokes 方程的推导，并在 Heisenberg 群上对后者进行分析。与欧几里得场景中的经典 Navier-Stokes 系统不同，扩散算子非椭圆而仅亚黏性，拉eray 投影算子与亚黏性 Laplacian 的对易子项阶数为二。尽管如此，我们在两种不同的设置中研究解的存在性：一种是 $L^2$ 设定，提供全局弱解的存在性；另一种是与 Heisenberg 群上第一个层级 Lie 代数右不变向量场生成器正则性相关的临界尺度不变 Sobolev 型空间。在后者类别中，我们建立了小数据下的全局解的存在性，以及能量空间中的稳定性估计，从而确保该类别中解的唯一性。此外，我们在该设定中表明这些解在垂直方向上瞬间变为解析的。意外地，我们获得的在垂直方向上的解析性半径下界对于大时间要大于常规欧几里得 Navier-Stokes 系统的值。最后，利用系统的结构，我们通过使用垂直变量的解析性来恢复其他方向上的 $\mathcal{C}^{\infty}$ 光滑性。