$\mathbb{R}$-bonacci 词的结构与增长

对于 $q>0$，若一个二元词中每个局部长度极大的形如 $0^a1^b$（$a>0$）的因子的出现都满足 $q \cdot a > b$，则称该词为 $q$-递减词。我们将 $q$-递减词与直线 $y=qx$ 的割线序列的某些前缀建立双射。我们证明，对任意正实数 $q$，$q$-递减词的长度 $n$ 的词数目以 $C_q \cdot \Phi(q)^n$ 的速度增长，其中常数 $C_q$ 依赖于 $q$ 而不依赖于 $n$。由先前工作已知，$\Phi(1)$ 为黄金比，$\Phi(2)$ 等于 tribonacci 常数，$\Phi(k)$ 为 $(k+1)$-bonacci 常数。我们证明函数 $\Phi(q)$ 严格递增，在每个正有理点不连续，并展现出与 Stern-Brocot 树和 Minkowski 问号函数相关的分形结构。