关于与连分数相关的有理函数树

本文介绍了一棵二叉树，其顶点由有理函数 $p(x)/q(x)$ 给出；根结点及子节点之间的函数推导受连分数的启发。我们证明了该树的一些特殊性质。例如，分母 $q(x)$ 的零解全部为实数且为负数，且在 $(-\infty,-1]$ 中稠密。对于 $x>0$，函数两两不相交，并形成 $(0,1)$ 中稠密子集。此外， 当对正有理数进行评估时，若且仅当 $x\in \mathbb{N}$ 时，树中包含 $(0,1)$ 中的每个有理数恰好一次。对于 $x=1$，可恢复经典的Farey树，其与规则连分数相关。最后一部分，我们将以类似方式构建一个关于反向连分数的树。我们强调了一些相似性和差异性。