两类新的 q-正整数族

设 $n,p,k$ 为三个正整数。我们证明关于 $q$ 的有理分式：$${n \brack k}_{q} {}_3\phi_{2} [ . {matrix}q^{1-k},q^{-p},q^{p-n} q,q^{1-n} {matrix}| q;q^{k+1}]\quad\textrm{and}\quad q^{(n-p)p}\qbi{n}{k}{q} {}_3\phi_2[ . {matrix}q^{1-k},q^{-p},q^{p-n} q,q^{1-n} {matrix}|q;q]$$ 均为具有正整数系数的 $q$ 的多项式。这推广了 Lassalle 近期的结果（Ann. Comb. 6(2002), no. 3-4, 399-405），其方式正如经典 $q$-二项式系数精炼了通常二项式系数。