二次无理数的Calkin-Wilf树

利用Calkin-Wilf树，我们证明了形如$\alpha=\frac{\sqrt{N}+p}{q}$的数的无理性，其中$N$是非完全平方的正整数，$p$是满足$p^2<N$的有理整数，$q$是整除$N-p^2$的正整数。为此，我们考虑以$\alpha$为根的Calkin-Wilf树的类比，并定义该树中一条满足显著周期性和对称性性质的特殊路径。该路径与$\alpha$的连分数展开密切相关，并使我们能够对Legendre和Galois关于平方根及简约二次无理数特殊情况下此类展开形式的定理给出新的证明。