自由幺半群与有理数森林

Calkin-Wilf树是一棵无限二叉树，其顶点为正有理数。每个这样的数在树中恰好出现一次，形式为 $a/b$，其中 $a$ 和 $b$ 是互质的正整数。该树与矩阵 $L_1 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right)$ 和 $R_1 = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)$ 相关联，它们自由生成行列式为1且坐标非负整数的 $2 \times 2$ 矩阵幺半群 $SL_2(\mathbf{N}_0)$。对于其他自由生成 $GL_2(\mathbf{N}_0)$ 子幺半群的矩阵对 $L_u$ 和 $R_v$，存在由无限多棵有根无限二叉树组成的森林，这些树划分了正有理数集，并具有显著的对称性质。