$(u,v)$-Calkin-Wilf 树中的行均值

我们固定整数 $u,v \geq 1$，并考虑一棵无限二叉树 $\mathcal{T}^{(u,v)}(z)$，其根节点的值为正有理数 $z$。对每个顶点 $a/b$，我们将左子节点标为 $a/(ua+b)$，右子节点标为 $(a+vb)/b$。所得树称为 $(u,v)$-Calkin-Wilf 树。当 $z$ 取遍 $[1/u,v]\cap \mathbb{Q}$ 时，$\mathcal{T}^{(u,v)}(z)$ 的顶点集构成 $\mathbb{Q}^+$ 的一个划分。当 $u=v=1$ 时，行均值随行深度增加收敛于 $3/2$。我们的目标是对任意 $u,v\geq 1$ 推广该结果。我们证明，当 $z\in [1/u,v]\cap \mathbb{Q}$ 时，$\mathcal{T}^{(u,v)}(z)$ 中的行均值在 $z$ 上一致收敛于接近 $v+\log 2/u$ 的值。