灌木的图兰数

设 $a,b \in {\bf Z}^+$，$r=a + b$，并设 $T$ 为一棵树，其部分集为 $U = \{u_1,u_2,\dots,u_s\}$ 和 $V = \{v_1,v_2,\dots,v_t\}$。令 $U_1, \dots ,U_s$ 和 $V_1, \dots, V_t$ 为两两不交的集合，使得对所有 $i,j$ 有 ${|U_i|=a}$ 且 ${|V_j|=b}$。$T$ 的 {\em $(a,b)$-扩张} 是指边集为 ${\{U_i \cup V_j : u_iv_j \in E(T)\}}$ 的 $r$-一致超图。我们利用 $\Delta$-系统方法证明如下图兰型结果。设 $a,b,s \in {\bf Z}^+$，$r=a+b\geq 3$，{$a\geq 2$}，且 $T$ 为一固定直径为 $4$ 且中心顶点度为 $s$ 的树。则存在 $C=C(r,s ,T)>0$，使得对每个不含 $T$ 的 $(a,b)$-扩张的 $n$-顶点 $r$-一致超图 $\mathcal{H}$，有 $|\mathcal{H}|\leq (s -1){n\choose r-1} +Cn^{r-2}$。当 $s \leq |V(T)|/2$ 时这在渐近意义下精确。文中还给出一个稳定性结果。