枚举标号树与森林的某些多项式矩阵的全正性. II. 有根标号树与部分函数有向图

我们研究以 $t_{n,k} = \binom{n}{k} n^{n-k}$ 为元素的下三角矩阵的三种组合模型：两种涉及顶点集 $[n+1]$ 上的有根树，一种涉及顶点集 $[n]$ 上的部分函数有向图。我们证明该矩阵是全正的，且其行生成多项式序列是系数意义下 Hankel-全正的。随后我们推广到计数非真边与真边的多项式 $t_{n,k}(y,z)$，并进一步推广到多项式 $t_{n,k}(y,\mathbf{\phi})$，其含无穷多个不定元，对每条非真边赋权 $y$，对具有 $m$ 个真子节点的顶点赋权 $m! \, \phi_m$。我们证明若权序列 $\mathbf{\phi}$ 是 Toeplitz-全正的，则前述两种全正性结果仍成立。我们的证明使用了产生矩阵与指数 Riordan 阵列。