由一类格路导出的全正性

矩阵的全正性被深入研究并在数学诸多分支中发挥重要作用。本文主要研究由 $\mathbb{N}^2$ 中从原点 $(0,0)$ 到点 $(k,n)$ 的带权格路生成的矩阵 $M=[M_{n,k}]_{n,k}$ 的全正性，其步型为：$(0,1)$ 与 $(1,t+i)$（$0\leq i\leq \ell$），其中每个从高度 $n-1$ 出发的步 $(0,1)$ 获权 $b_n(\textbf{y})$，每个从高度 $n-t-i$ 出发的步 $(1,t+i)$ 获权 $a_n^{(i)}(\textbf{x})$。利用代数方法，我们证明权矩阵 $[a_i^{(i-j)}(\textbf{x})]_{i,j}$ 的 $\textbf{x}$-全正性蕴含 $M$ 的 $\textbf{x}$-全正性。进而，利用 Lindstr"{o}m-Gessel-Viennot 引理，我们分别在下述三种情形得到 $M$ 与 $M$ 各行序列的 Toeplitz 矩阵（$t\geq1$）均为 $\textbf{x}$-全正：(1) $\ell=1$，(2) $\ell=2$ 且对 $a_n^{(i)}$ 有限制，(3) 一般 $\ell$ 且 $a^{(i)}_n$ 与 $b_n$ 均独立于 $n$。此外，对情形(3)，我们证明矩阵 $M$ 为 Riordan 阵列，给出其显式公式并证明 $M$ 各列的 Toeplitz 矩阵的全正性。特别地，由 Toeplitz-全正性结果我们也得到相应序列的 P\'olya 频率与对数凹性。最后，作为应用，我们以统一方式建立了众多著名组合三角形的全正性与 Toeplitz-全正性，包括 Pascal 三角形、Pascal 方阵、Delannoy 三角形、Delannoy 方阵、第一类无符号 Stirling 三角形、第一类 Legendre-Stirling 三角形、第一类 Jacobi-Stirling 三角形、Brenti 递归矩阵等。