Swan 的 Bertini 定理在单位模行上的应用

设 $R$ 是特征 char $\neq 2$ 的完美域 $k$ 上维数 $d\geq 4$ 的仿射代数，$I$ 为 $R$ 的理想。则——若 $c.d._2(k)\leq 2$，则 Um$_{d+1}(R,I)/{\rm E}_{d+1}(R,I)$ 具有良好的群结构。——若 $k$ 为代数闭且 char $k\neq 2,3$，且要么 (i) $k = \overline{\mathbb{F}}_{p}$ 要么 (ii) $R$ 是正规的，则 Um$_d(R,I)/{\rm E}_d(R,I)$ 具有良好的群结构。——若 $R$ 是约化的且 $k$ 是无限的并满足 $c.d.(k)\leq 1$，则 $MS_{d+1}(R)$ 对 $k$ 的特征之素数是唯一可除的。