紧型局部齐性空间上的强重数一定理

设 $G$ 为紧连通半单李群，$K$ 为 $G$ 的闭子群，$\Gamma$ 为 $G$ 的有限子群，$\tau$ 为 $K$ 的有限维表示。对 $G$ 的酉对偶 $\widehat G$ 中的 $\pi$，以 $n_\Gamma(\pi)$ 记其在 $L^2(\Gamma\backslash G)$ 中的重数。我们针对 $\widehat G_\tau$（$G$ 的不可约 $\tau$-球表示集合）中的 $\pi$，在 Bhagwat 与 Rajan 的精神下证明了一个强重数一定理。更确切地说，对 $G$ 的有限子群 $\Gamma$ 与 $\Gamma'$，我们证明若对除有限多个 $\pi\in \widehat G_\tau$ 外的所有 $\pi$ 有 $n_{\Gamma}(\pi)= n_{\Gamma'}(\pi)$，则 $\Gamma$ 与 $\Gamma'$ 是 $\tau$-表示等价的，即对所有 $\pi\in \widehat G_\tau$ 有 $n_{\Gamma}(\pi)=n_{\Gamma'}(\pi)$。此外，当 $\widehat G_\tau$ 可写为表示串的有限并时，我们证明上述结果的有限版本。对任意满足某些温和条件的 $\widehat G_{\tau}$ 的有限子集 $\widehat {F}_{\tau}$，$\pi\in\widehat F_{\tau}$ 上的 $n_\Gamma(\pi)$ 值决定了所有 $\pi \in \widehat G_\tau$ 的 $n_\Gamma(\pi)$ 值。特别地，对 $G$ 的两个有限子群 $\Gamma$ 与 $\Gamma'$，若对所有 $\pi\in \widehat F_{\tau}$ 有 $n_\Gamma(\pi) = n_{\Gamma'}(\pi)$，则该等式对每個 $\pi \in \widehat G_\tau$ 成立。我们运用了涉及生成函数的代数方法以及 $G$ 的表示论中的一些事实。