可酉化性、Maurey--Nikishin 分解与有限型波兰群

设 $\Gamma$ 为可数离散群，令 $\pi\colon \Gamma\to {\rm{GL}}(H)$ 为 $\Gamma$ 在可分希尔伯特空间 $H$ 上由可逆算子给出的表示。我们证明半直积群 $G=H\rtimes_{\pi}\Gamma$ 是 SIN 的（$G$ 容许与其拓扑相容的双侧不变度量）且可酉表示的（$G$ 嵌入到酉群 $\mathcal{U}(\ell^2(\mathbb N))$ 中），当且仅当 $\pi$ 是一致有界的；并且 $\pi$ 是可酉化的当且仅当 $G$ 是有限型的：即 $G$ 嵌入到 II$_1$-因子的酉群中。由此，我们证明可酉表示的波兰 SIN 群未必是有限型的，回答了 Sorin Popa 的一个问题。我们论证的关键点是对从希尔伯特空间到概率空间上所有可测映射空间 $L^0(X,m)$ 的连续映射的 Maurey--Nikishin 分解定理的一个等变版本。