酉群的酉表示

本文回顾并梳理了 Kirillov、Olshanski 和 Pickrell 关于实、复或四元数可分 Hilbert 空间 $\cH$ 的酉群 $\U(\cH)$ 及其子群 $\U_\infty(\cH)$（由满足 $g - \1$ 为紧算子的酉算子 $g$ 组成）的酉表示的一些结果。关于恒等分支 $\U_\infty(\cH)_0$ 的连续酉表示的 Kirillov--Olshanski 定理断言，它们是不可约表示的直和，而这些不可约表示可在适当复 Hilbert 空间的有限张量积中实现。本文证明了该结论并将其推广至不可分空间。通过 Pickrell 定理，这些结果被推广至整个酉群；该定理断言，对于可分 Hilbert 空间 $\cH$，$\U(\cH)$ 的可分酉表示由其到 $\U_\infty(\cH)_0$ 的限制唯一确定。对于 $(G,K)$ 型非酉型的 10 个经典无限秩对称对（例如 $(\GL(\cH),\U(\cH))$），我们还证明了所有可分酉表示都是平凡的。