偏序集酉表示的Kleiner定理

偏序集$\mathcal S=\{s_1,...,s_t\}$的一个子空间表示由一个系统$(V;V_1,...,V_t)$给出，该系统包含一个向量空间$V$及其子空间$V_i$，使得若$s_i \prec s_j$则$V_i\subseteq V_j$。对于每个分量均为正数的实值向量$\chi=(\chi_1,...,\chi_t)$，我们将$\mathcal S$的一个酉$\chi$-表示定义为一个系统$(U;U_1,...,U_t)$，该系统包含一个酉空间$U$及其子空间$U_i$，使得若$s_i\prec s_j$则$U_i\subseteq U_j$，并且满足$\chi_1 P_1+...+\chi_t P_t= \mathbb 1$，其中$P_i$是到$U_i$上的正交投影。我们证明，对于每个权重$\chi$，$\mathcal S$具有有限多个酉不等价的不可分解$\chi$-表示当且仅当$\mathcal S$具有有限多个不等价的不可分解子空间表示；也就是说，当且仅当$\mathcal S$包含Kleiner的某个临界偏序集。