$A_n$ 塔中的分层 Langlands 对偶性

令 $\mathbf{S}_k$ 表示复李群 $\mathbf{G} = \mathrm{SL}_n(\mathbb{C})/C_k$ 中的极大环面，并令 $T_k$ 表示其紧实形式 $\mathrm{SU}_n(\mathbb{C})/C_k$ 中的极大环面，其中 $k$ 整除 $n$。令 $W$ 表示 $\mathbf{G}$ 的 Weyl 群，即对称群 $\mathfrak{S}_n$。我们阐明了扩展商 $\mathbf{S}_k // W$ 作为代数簇的结构以及 $T_k // W$ 作为拓扑空间的结构，在两种情形下都将它们描述为环面并集上的丛。对应于 Langlands 对偶下 $K$-理论的不变性，这一计算提供了 $T_k // W$ 与其对偶 $T_{\frac{n}{k}} // W$ 之间的同伦等价。因此，扩展商的上同调中存在一个同构，该同构分层为 Weyl 群共轭类上的直和。我们利用我们的公式计算了若干例子。