极大环面的正规化子与李群实形式

给定一个具有极大环面 $H\subset G$ 的复连通约化李群 $G$，Tits 定义了相应 Weyl 群 $W_G$ 的一个扩张 $W_G^T$。该扩张群带有到正规化子 $N_G(H)$ 的嵌入，使得 $W_G^T$ 与 $H$ 共同生成 $N_G(H)$。本文我们提出用极大分裂实形式 $G(\mathbb{R})\subset G$ 来解释 Tits 经典构造，从而得到 $W^T_G$ 的简单拓扑描述。我们还考虑了与 $G$ 的紧实形式 $U$ 相关的 Tits 构造的变体。在此情形下，我们定义 Weyl 群 $W_G$ 的一个扩张 $W_G^U$，它自然嵌入到紧实形式 $U$ 被 Galois 群 $\Gamma={\rm Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ 的群扩张 $\widetilde{U}:=U\rtimes\Gamma$ 中。如同 Weyl 群 $W_G$ 中那样，$W^U_G$ 的生成元平方为单位元。然而，$\Gamma$ 通过外自同构的非平凡作用要求 $W^U_G$ 是 $W_G$ 的一个非平凡扩张。这给出了群扩张 $\widetilde{U}$ 的极大环面正规化子的一个具体表示。最后，我们显式描述了 $W_G^T$ 和 $W^U_G$ 在 $G$ 的李代数上的伴随作用。