Keller-Segel方程的随机粒子逼近与Bessel过程的二维推广

Keller-Segel偏微分方程是趋化性的一个二维模型。当初始密度的总质量为1时，已知只要细菌对趋化吸引剂的敏感度 $\chi$ 大于 $8\pi$，它就会在有限时间内发生爆破。我们研究了通过一个在漂移项中通过奇异吸引核相互作用的 $N$ 个二维布朗粒子系统对该方程的逼近。在极亚临界情形 $\chi\textless{}2\pi$ 下，扩散强烈主导这一奇异漂移：我们得到了粒子系统的存在性，并证明了其经验测度流在 $N\to\infty$ 时（至多抽取一个子列）收敛于Keller-Segel方程的弱解。我们还表明，对于任意 $N\ge 2$ 和任意 $\chi\textgreater{}0$ 的值，粒子对以正概率发生碰撞：漂移的奇异性确实被到达。然而，当 $\chi\textless{}2\pi N$ 时，可以控制漂移并得到粒子系统在至少三个粒子发生碰撞的首达时刻之前的存在性。我们验证了该时刻几乎必然是无穷的，从而粒子系统全局存在，当且仅当 $\chi\leq 8\pi(N-2)/(N-1)$。最后，我们注意到在 $N=2$ 个粒子的系统中，两个位置之差提供了一个Bessel过程的自然二维推广，我们对其进行了详细研究。