超临界Keller-Segel粒子系统的碰撞

我们研究自然关联到 $2$ 维Keller-Segel方程的一个粒子系统。它由平面上的 $N$ 个布朗粒子组成，通过 $\theta/(Nr)$ 中的二元吸引相互作用，其中 $r$ 表示两个粒子间的距离。当此吸引的强度 $\theta$ 大于 $2$ 时，该粒子系统在有限时间内爆裂。我们假设 $N>3\theta$ 并详细研究爆裂附近发生的情况。存在两种略有不同的情况，取决于 $N$ 和 $\theta$ 的值，其中一种如下：在爆裂时，恰好由 $k_0$ 个粒子组成的簇出现，对某些依赖于 $N$ 和 $\theta$ 的确定性 $k_0\geq 7$ 成立。就在爆裂前，存在无穷多次 $(k_0-1)$ 元碰撞。在每次 $(k_0-1)$ 元碰撞前也存在无穷多次 $(k_0-2)$ 元碰撞。并且在每次 $(k_0-2)$ 元碰撞前存在无穷多次二元碰撞。最后， $3,\dots,k_0-3$ 个粒子子集的碰撞从不发生。另一种情况类似，只是没有 $(k_0-2)$ 元碰撞。