Stiefel-Whitney 类与能带理论中的拓扑相

在本文中，我们回顾了具有时空反演对称性 $I_{\text{ST}}$ 的系统中拓扑相研究的近期进展。$I_{\text{ST}}$ 是一种在动量空间局域且满足 $I_{\text{ST}}^2=1$ 的反幺正对称性，例如 $PT$ 或 $C_{2}T$ 对称性，其中 $P$、$T$、$C_2$ 分别表示空间反演、时间反演和二重旋转对称性。在 $I_{\text{ST}}$ 下，哈密顿量和布洛赫波函数可被约束为实值，这使得贝里曲率和陈数消失。在这类系统中，实波函数的带隙能带结构可由 Stiefel-Whitney 数进行拓扑区分。第一和第二 Stiefel-Whitney 数 $w_1$ 和 $w_2$ 分别是 1D 和 2D 中对应的不变量，分别等价于量子化的贝里相位和 $Z_2$ 单极荷。我们首先描述由第一 Stiefel-Whitney 数表征的拓扑相，包括具有量子化电荷极化的 1D 拓扑绝缘体、2D 狄拉克半金属和 3D 节线半金属。接下来我们回顾第二 Stiefel-Whitney 类如何表征携带 $Z_{2}$ 单极荷的 3D 节线半金属。特别地，我们解释第二 Stiefel-Whitney 数 $w_2$、$Z_{2}$ 单极荷以及节线之间环绕数之间的关系。最后，我们回顾由非平凡第二 Stiefel-Whitney 类表征的 2D 和 3D 拓扑绝缘体的性质。